$ \sqrt{2} $ 가 무리수임을 증명해보자

고등학교 수학시험에는 주관식 증명 문제가 자주 출제되곤 했다. 제대로 답을 써냈던 기억은 별로(거의) 없다. 수학공부를 제대로 안했으니까 당연하다. 

 

근데 졸업한 지 삼 십년도 지난 지금은 수학 증명 문제가 반갑다. 정보를 해석하고 파악하는 과정에서 추가로 습득되는 내용도 많고, 논리적인 사고를 키울 수 있다는 것을 알기 때문이다. 

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$ \sqrt{2} $ 가 무리수임을 증명하기 위해서 먼저 짚어야 할 부분이 있다.

 

수는 실수와 허수로 나뉜다. 실수는 유리수와 무리수로 나뉘고.

유리수

분모가 0 이 아닌 정수의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 기호를 통해 나타내면,

 

$$ \frac{a}{b} $$

 

즉, 분수로 나타낼 수 있는 수이다.

(a와 b는 정수이며 서로소의 관계, b는 0이 아니다)

서로소
여러 개의 수들 사이에서 공약수(공통약수)가 1밖에 없는 관계를 말한다. 
두 정수 a, b 가 서로소라고 하면 1을 제외한 공약수는 존재하지 않는다.

 

 

무리수

실수 중에서 유리수를 제외한 나머지를 무리수라고 하는데, 대표적인 예가 $\pi$ 이다.

 

$\pi$  = 3.14159265358979323846.....

 

소수점 이하에서 같은 값의 반복없이 무한하게 계속되는데, 이렇게 순환하지 않는 무한소수를 무리수라고 부른다. 

 

 

귀류법

"어떤 명제가 참임을 증명하려 할 때 그 명제의 결론을 부정함으로써 가정 또는 공리 등이 모순됨을 보여 간접적으로 그 결론이 성립한다는 것을 증명하는 방법이다" - 두산백과사전

 

쉽게 말하면

• A 라는 명제가 참(성립함)을 증명하려면
• A 의 부정이 거짓이라고 증명하면
• A 라는 명제가 참임을 증명할 수 있다.

예컨대  "참새는 새(bird)다" 라는 명제가 참임을 증명해보자.

• 명제의 부정이 거짓임을 증명하면 되니까 "참새는 새가 아니다"가 거짓임을 증명하면 된다.
• 참새는 날개가 있고, 부리도 있고, 날아다닌다. "참새는 새가 아니다"라는 명제는 거짓이다.
• 그러므로 "참새는 새다"는 참이다. 

 

 

 

이제 증명을 시작할 준비가 되었다.

 

$ \sqrt{2} $ 가 무리수임을 증명하는 출발점은 귀류법을 사용해서 "$ \sqrt{2} $ 는 유리수이다."라고 가정해본다. 

 

모든 유리수는 $ \frac{a}{b} $ 로 나타낼 수 있다.

(이때 a, b 는 서로소인 정수이며, b $\neq$ 0)

 

그렇다면 $ \sqrt{2} $ 역시 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

$ \sqrt{2} = \frac{a}{b} $

 

양변을 제곱해보자.

 

$ 2 = \frac{a^{2}}{b^{2}} $

 

b 는 0 이 아니므로 양변에 $b^{2}$ 을 곱할 수 있다.

 

$ 2b^{2} = a^{2} $

 

좌변에 2가 곱해져 있으니 $ a^{2} $ 은 짝수이다.

$ a^{2} $ 이 짝수이면 a 도 짝수가 된다. 

홀수의 제곱은 홀수, 짝수의 제곱은 짝수이다.
짝수는 2k, 홀수는 2k+1 로 표현해서 증명이 가능한데, 지금은 그냥 넘어가자.

 

a 는 짝수이므로 a = 2c 라고 표현할 수 있다.

a = 2c 를 위의 식에 대입해보자.

 

$ 2b^{2} = 4c^{2} $

 

양변을 2로 나누면,

 

$ b^{2} = 2c^{2} $

 

이번에는 우변에 2가 곱해져 있으니 b 역시 짝수다.

 

지금까지 내용에 의하면 a와 b 모두 짝수라는 결론이 나온다. 

 

그런데 맨 처음 a와 b는 서로소라고 했다. 

a와 b가 모두 짝수이면 1외에 2로도 나눌수 있기 때문에 a와 b는 서로소가 아니다. 

 

즉 가정에 모순이 생겼다. 

그렇다면 $ \sqrt{2} $ 는 유리수가 아니라는 말이 된다.

실수에서 유리수가 아니면 무리수이다. 

 

그러므로 $ \sqrt{2} $ 는 무리수이다.

 

Q.E.D