넷플릭스 다큐멘터리 무한대로 떠나는 여행
넷플릭스의 다큐멘터리 「인피니티:무한의 세계로」
제목만 보면 얼핏 마블의 신작 영화를 떠올릴 수도 있겠다. (그렇다면 실망스럽게도) 다큐멘터리의 내용은 무한과 무한이 우주에 대해 시사하는 바이다. 수학자, 입자물리학자, 심지어 철학자들까지 등장해서 무한대의 개념과 우주에 대한 얘기를 풀어놓는다.
'숫자가 아니며, 한없이 커지는 상태'
수학의 정석 Ⅱ <함수의 극한> 첫 페이지에 기재되어 있는 무한대의 설명이다. 고등학교 수학 기본서나 문제집은 이 정도의 설명으로 갈음한다. 한 줄 설명으로도 문제 풀이에는 별 어려움이 없다(내 경우에는).
그래도 가끔씩 의문이 떠오른다. 고등학교 수학에서 한 발 떨어져 바라보는 무한대는 어떤 모습일까. 무한대의 개념은 어떻게 확장되고 어떤 한계를 가지고 있을까.
이런 생각을 한 번쯤 가져보았다면 이 영상이 도움이 될 거라고 본다.
다큐멘터리가 던지는 첫 번째 질문, "무한대에 1을 더하면 어떻게 될까?"
$ \infty + 1 = \infty $
무한대에 1을 더해도 역시 무한대가 될 것이다.
양변에서 각각 무한대를 빼보자.
1 = 0
결과가 이상하다.
두 번째 질문.
"무한대에 무한대를 더하면 어떻게 될까?"
$ \infty + \infty = \infty $
무한대에 무한대를 더해도 역시 무한대가 될 것이다.
양변에서 무한대를 빼보자.
$ \infty = 0 $
역시 이상한 결과에 도달한다.
무한대의 개념을 설명하는 또 하나의 예시는 ★인피니트 호텔이다.
★네이버 검색창에 「인피니트 호텔」 을 검색하면 무한대와 관련된 수학적인 내용은 찾을 수 없다. 호텔 수영장, 풀빌라 광고만 잔뜩이다. 원제는 다비드 힐베르트(David Hilbert)라는 수학자가 제기한 힐베르트의 무한 호텔 역설(Hilbert's Paradox of the Grand Hotel)이다.
무한대의 성질을 나타내는 예시로 널리 사용되는데, 내용은 어렵지 않다.
무한이 많은 객실을 보유하고 있는 호텔이 있고, 이 호텔은 항상 풀부킹되어 만실이다. 새로운 고객이 한 명 찾아와서 숙박을 신청한다고 할 때,
모든 객실에 투숙하고 있는 고객들은 자신의 룸넘버에 1을 더한 룸넘버의 객실로 모두 이동한다. 그럼 1호실이 빈다. 새로운 고객은 1호실에 숙박하면 된다.
왜 모든 고객들이 번거롭게 이동해야하는지 질문할 수 있다. 새로운 고객은 맨 끝 객실에 숙박하면 되는 거 아닌가 하고. 그 이유는 무한대는 고정된 수의 개념이 아니라서 맨 끝수가 없기 때문이다.
호텔 이야기는 여기서 더 나아간다.
무한하게 길다란 버스 한 대가 도착해서 무한하게 많은 고객들이 숙박을 요구하는 경우,
무한하게 길다란 버스가 무한하게 많이 도착해서 무한하게 많은 고객들이 숙박을 요구하는 경우.
이 모든 경우마다 멋들어진 해결책이 존재한다.
꽤나 흥미로운 1시간이었다. 자막의 흐름을 놓쳐서 몇 번씩 다시 돌려보기도 했고, 정지화면 상태에서 수학적인 맥락을 곱씹어보기도 했다. 수학에 관심이 있는 사람이라면 한 번 시청해 보길 적극 권장한다(수학 점수 올리는 데는 별 도움이 안 될 거 같지만).
덧붙이자면 수학이라는 분야에 1도 관심이 없다면 정말이지 단 십 분이라도 시청하기 어려울꺼다. 아마 그럴 거다.